CONCAVIDAD Y CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

UPV. MOOC. Derivadas. Resolución de problemas de optimización. Video 26/28. UPV. Santiago Moll López.

OPTIMIZACIÓN
Estrategia para resolver problemas de máximos y mínimos

1.- Identificar todas las cantidades conocidas y las cantidades a determinar.
2.- Identificar y escribir la función primaria para la magnitud que debe hacerse máxima o mínima.
3.- Identificar y escribir, si existe, la ecuación secundaria que relaciona la variable principal con el resto.
4.- Escribir la función primaria en función de una sola variable usando, si es necesario, la ecuación secundaria.
5.- Identificar el dominio de la función primaria.
6.- Buscar los máximos y los mínimos con las técnicas vistas anteriormente.

Procedimiento para el cálculo de extremos relativos

1.- 	Se calcula la derivada de la función f (x), es decir f ‘(x).
2.- 	Resolvemos la ecuación f ‘(x) = 0. Los puntos solución y los puntos en los que no exista la derivada, se denominan puntos críticos de f (x).
3.- 	Calculamos f ‘’ (x).
4.- 	Sustituimos los puntos críticos en la segunda derivada.
	Entonces:
	- 	Si f ‘’(a) > 0 entonces la función alcanza un mínimo relativo en el punto x = a y el valor del mínimo es en el punto (a, f (a)).
	- 	Si f ‘’(a) < 0 entonces la función alcanza un máximo relativo en el punto x = a y el valor del máximo es en el punto (a, f (a)).
	-        	Si f ‘’(a) = 0, se utiliza el criterio de la primera derivada.

Ejemplo 1:

Un fabricante quiere diseñar una caja abierta con base cuadrada y área de 108 (cm^2) de superficie. ¿Qué dimensiones producen la caja de máximo volumen?

Solución:

Se puede construir una caja de base cuadrada pequeña pero alta, o una caja de base cuadrada grande y poco alta. ¿Donde cabe más?. Llamamos x a la distancia de los lados de la base y h a la altura de la caja. El volumen de la caja, que es lo que queremos maximizar es:

V = (area base) x altura = (x^2) · h    	FUNCIÓN PRIMARIA

Esta función es la que llamamos función primaria. Sabemos que el área es de 108 (cm^2)por lo que:

S = (área de la base) + 4 (área lateral) = (x^2)+ 4xh = 108 	FUNCIÓN SECUNDARIA

Tenemos así la ecuación secundaria que relaciona las variables x, h. Despejamos h y la escribimos en función de x:

h = ((108-(x^2))/(4x))

Al dividir por x debemos llevar cuidado, por si x toma el valor 0. Pero esto no tiene sentido, no se puede construir una caja de lado 0 cm. Por tanto sustituimos el valor de h en la función primaria:

V = (x^2) · h  = (x^2) (((108-(x^2))/(4x))) = ((x (108-(x^2)))/4) = 27x - ((x^3)/4)

V[x_]=27x-((x^3)/4)

Calculamos los valores críticos de la función volumen, para ello calculamos la primera derivada:

V'[x]

Igualamos a cero y despejamos:

Solve[V'[x]==0, x]

Los valores críticos son x = 6 y x = - 6. Como no tiene sentido una longitud negativa, descartamos la solución x = - 6. Cómo vamos a determinar si en ese punto hay un máximo o un mínimo. Con el criterio de la segunda derivada:

Si calculamos la segunda derivada:

V''[x]

Sustituimos el valor  crítico x = 6 y obtenemos:

V''[6]

Significa que en x = 6 la función alcanza un máximo. Es decir , el volumen máximo se alcanza con x = 6 y h = ((108-(6^2))/(4 · 6))=3. Entonces el volumen máximo queda V = (6^2) · 3 = 108 (cm^3).

TableForm[{{"(-∞,-1)","(-1, 1)","(1, +∞)"},{-2,0,2},{f''[-2],f''[0],f''[2]}, {"Arriba", "Abajo", "Arriba"}},TableHeadings->{{"Intervalo","Valor prueba","Imagen", "Concava hacia"},{"I1","I2","I3"}}]

La representamos para ver como es:

Plot[f[x],{x,-4,4}, AxesLabel->{"x","y"}, PlotRange->{0,3}]

Si añadimos los puntos de inflexión:

Show[Plot[f[x],{x,-4,4}, AxesLabel->{"x","y"}, PlotRange->{0,3}], Graphics[{Thick, Point[{-1,f[-1]}],
{Thick, Point[{1,f[1]}]}}]]

DEFINICIÓN

Llamamos punto de inflexión de una función f (x) a aquellos puntos en los que la concavidad cambia de sentido (y existe recta tangente).

TEOREMA: Puntos de inflexión

Si (c, f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f(x), entonces:
-  O bien f ‘’(c) = 0
-  O bien f (x) no es derivable en x = c.

Ejemplo 2:

Halla los puntos de inflexión y discute la concavidad de la gráfica f (x) = (x^4)- 4(x^3)

Solución:

Se trata de un polinomio, por tanto es una función continua y derivable. Calculemos la primera y segunda derivada.

g[x_]=(x^4)-4(x^3)

g'[x]

g''[x]

Igualando la segunda derivada a cero.

Solve[g''[x]==0, x]

Estudiamos el signo de la segunda derivada en los intervalos delimitados por los puntos x = 0 y x = 2.

TableForm[{{"(-∞,0)","(0, 2)","(2, +∞)"},{-1,1,3},{g''[-1],g''[1],g''[3]}, {"Arriba", "Abajo", "Arriba"}},TableHeadings->{{"Intervalo","Valor prueba","Imagen", "Concava hacia"},{"I1","I2","I3"}}]

La representación de la función es:

Plot[g[x],{x,-1,6}, AxesLabel->{"x","y"}, PlotRange->{-30,10}]

Show[Plot[g[x],{x,-1,6}, AxesLabel->{"x","y"}, PlotRange->{-30,10}], Graphics[{Thick, Point[{-1,g[-1]}],
{Thick, Point[{1,g[1]}], Thick, Point[{3,g[3]}]}}]]

NOTA

EL recíproco del teorema no es cierto en general. Por ejemplo, en la función f (x) = (x^4), la segunda derivada es  cero en x = 0, pero el punto (0, 0) no es un punto de inflexión, pues la gráfica es cóncava hacia arriba antes de cero y despues del  cero.

i[x_]=x^4

i''[x]

Plot[i[x],{x,-5,5}, AxesLabel->{"x","y"}, PlotRange->{0,100}]

TEOREMA: Criterio de la segunda derivada

Sea f (x) una función tal que f ‘ (c) = 0, ( c es un punto crítico) y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c. Entonces

1.- Si  f ‘’(x) > 0, f (c) es un mínimo relativo.
2.- Si  f ‘’(x) < 0, f (c) es un máximo relativo.
2.- Si  f ‘’(x) = 0, el criterio no decide y hay que usar el criterio de la primera derivada.

Ejemplo 3:

Halla los extremos de j (x) = -3(x^5)+ 5(x^3)

Solución:

Se trata de un polinomio definido en todos los puntos, función continua y derivable. Hallamos primero los valores críticos de j (x).

j[x_]=-3(x^5)+5(x^3)

j'[x]

Igualando la primera derivada a cero.

Solve[j'[x]==0, x]

Obtenemos tres puntos  críticos. Vamos a clasificar esos puntos usando la segunda derivada.

j''[x]

Evaluamos los puntos críticos en la segunda derivada.

TableForm[{{"-1","0","1"},{j''[-1],j''[0],j''[1]}, {"Mínimo", "No decide", "Máximo"}},TableHeadings->{{"Punto x","Valor j''(x)","Conclusión"},{"P1","P2","P3"}}]

Para x = 0 el test no decide, por lo que tendríamos que aplicar el test de la primera derivada.

TableForm[{{"(-∞,-1)","(-1, 0)","(0, 1)", "(1, +∞}"},{-2,((-1)/2),(1/2),2},{j'[-2],j'[((-1)/2)],j'[(1/2)],j'[2]}, {"Decreciente", "Creciente", "Creciente", "Decreciente"}},TableHeadings->{{"Intervalo","Valor prueba","Imagen", "Conclusión"},{"I1","I2","I3", "I4"}}]

La representación de la función es:

Plot[j[x],{x,-2,2}, AxesLabel->{"x","y"}, PlotRange->{-10,10}]