CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA CLASIFICAR EXTREMOS

MOOC. UPV. Derivadas.  Criterio de la primera derivada. Video 24/28. UPV. Santiago Moll López.

TEOREMA (Criterio de la primera derivada)

Sea c un valor crítico de una función f (x) continua en un intervalo abierto l que contiene a c.

Si f (x) es derivable en ese intervalo, excepto quizá en (c, f (c)) se clasifica así:

1.- Si f ‘ (x) cambia en c de negativa (decreciente) a positiva (creciente), entonces f (c) es un mínimo relativo de f.
2.- Si f ‘ (x) cambia en c de positiva (creciente) a negativa (decreciente), entonces f (c) es un máximo relativo de f.

Ejemplo:

Halla los extremos relativos de f (x) = ((x^2) - 4)2/3

Solución:

f[x_]=((((x^2)-4))^(2/3))

La representamos para ver como es:

Plot[f[x],{x,-4,4}, AxesLabel->{"x","y"}, PlotRange->{-4,5}]

La función f (x) es continua en toda la recta real. Su derivada es:

f'[x]

Igualando a cero:

Solve[f'[x]==0, x]

No es el único punto crítico de la función. Porque esta función no está definida para los valores -2 y 2, que son los valores que anulan el denominador de la derivada. Luego 2 y -2 también se tienen que considerar como puntos críticos, aparte del cero.

Tenemos pues tres puntos críticos, en esos puntos la derivada vale cero, por lo que dividiremos la recta real en 4 intervalos:

TableForm[{{"(-∞,-2)","(-2, 0)","(0, 2)","(2, +∞)"},{-3,-1,1,3},{f'[-3],f'[-1],f'[1],f'[3]}, {"Decreciente", "Creciente", "Decreciente", "Creciente"}},TableHeadings->{{"Intervalo","Valor prueba","Imagen", "Resultado"},{"I1","I2","I3","I4"}}]

Del criterio de la primera derivada se obtiene que f (x) tiene en x = -2 un mínimo relativo, en x = 0 un máximo relativo y en x = 2 un mínimo relativo.

Ejemplo:

Halla los extremos relativos de g (x) = (((x^4)+ 1)/(x^2))

Solución:

g[x_]=(((x^4)+1)/(x^2))

La función es continua en toda la recta real excepto en x = 0. Su derivada es:

g'[x]

Igualando a cero:

Solve[g'[x]==0, x]

Tenemos pues tres puntos críticos: x = 0, x = 1, x = -1.  En esos puntos la derivada vale cero, por lo que dividiremos la recta real en 4 intervalos:

TableForm[{{"(-∞,-1)","(-1, 0)","(0, 1)","(1, +∞)"},{-2,-(1/2),(1/2),2},{g'[-2],g'[-(1/2)],g'[(1/2)],g'[2]}, {"Decreciente", "Creciente", "Decreciente", "Creciente"}},TableHeadings->{{"Intervalo","Valor prueba","Imagen", "Resultado"},{"I1","I2","I3","I4"}}]

Del criterio de la primera derivada se obtiene que g (x) tiene en x = -1 un mínimo relativo, en x = 0 la función no está definida (tiene una asíntota vertical) relativo y en x = 1 un mínimo relativo.

Plot[g[x],{x,-4,4}, AxesLabel->{"x","y"}, PlotRange->{-5,20}]

NOTA

No  me dan las mismas gráficas que presenta en el video.