CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

UPV. MOOC. Derivadas. Cálculo de máximos y mínimos de una función. Video 27/28 y 28/28. UPV. Santiago Moll López.

Procedimiento para el cálculo de extremos relativos

1.- 	Se calcula la derivada de la función f (x), es decir f ‘(x).
2.- 	Resolvemos la ecuación f ‘(x) = 0. Los puntos solución y los puntos en los que no exista la derivada, se denominan puntos críticos de f (x).
3.- 	Calculamos f ‘’ (x).
4.- 	Sustituimos los puntos críticos en la segunda derivada.
	Entonces:
	- 	Si f ‘’(a) > 0 entonces la función alcanza un mínimo relativo en el punto x = a y el valor del mínimo es en el punto (a, f (a)).
	- 	Si f ‘’(a) < 0 entonces la función alcanza un máximo relativo en el punto x = a y el valor del máximo es en el punto (a, f (a)).
	-        	Si f ‘’(a) = 0, se utiliza el criterio de la primera derivada.

Ejemplo 1:

Calcula los máximos y mínimos relativos de la función:  f (x) = 3(x^4)- 6(x^2)

Solución:

f[x_]=3(x^4)-6(x^2)

Calculamos los valores críticos de la función volumen, para ello calculamos la primera derivada:

f'[x]

Igualamos a cero y despejamos:

Solve[f'[x]==0, x]

Hemos obtenido tres puntos críticos, cómo sabemos si hay máximo o mínimo. Calculamos la segunda derivada:

f''[x]

Sustituimos los valores críticos en la segunda derivada:

f''[-1]

f[-1]

En este caso hay un mínimo para el punto (- 1, -3)

f''[0]

f[0]

En este caso hay un máximo para el punto (0, 0)

f''[1]

f[1]

En este caso hay un mínimo para el punto (1, 0)

Representamos la función para ver como es:

Plot[f[x],{x,-2,2}, AxesLabel->{"x","y"}, PlotRange->{-4,3}]

Si añadimos los puntos críticos:

Show[Plot[f[x],{x,-2,2}, AxesLabel->{"x","y"}, PlotRange->{-4,3}], Graphics[{Thick, Point[{-1,f[-1]}],
{Thick, Point[{0,f[0]}], Thick, Point[{1,f[1]}]}}]]

Ejemplo 2:

Calcula los máximos y mínimos relativos de la función:  g (x) = (x+1) e2x

Solución:

Escribimos la función:

g[x_]=(x+1)(E^(2x))

Calculamos la primera derivada:

g'[x]

Igualamos la primera derivada a cero y resolvemos:

Solve[g'[x]==0, x]

Obtenemos un solo punto crítico. La función es derivable en todos los puntos, por tanto no necesitamos añadir ningún punto más. Para saber si es máximo o mínimo tenemos que calcular la segunda derivada.

g''[x]

Sustituimos el punto crítico en la segunda derivada:

g''[((-3)/2)]

g[((-3)/2)]

Luego hay un mínimo en ( - 3/2, - 1/2 (e^3)). Para verlo gráficamente:

Show[Plot[g[x],{x,-3,-1}, AxesLabel->{"x","y"}, PlotRange->{0,-0.030}], Graphics[{Thick, Point[{((-3)/2),g[((-3)/2)]}]}]]