APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

MOOC. UPV. Derivadas sucesivas y polinomio de Taylor. Video 18/28. UPV. Santiago Moll López.
Segunda parte.

Ejemplo utilizando un polinomio de grado 1:

Vamos a calcular un valor aproximado  de (e^0.4)utilizando polinomios.

Queremos hacer  la aproximación a un polinomio de primer grado. Eso significa que buscamos un polinomio de la forma P1 (x) = a + bx, donde a y b son valores reales, que se aproxime a la función f (x) = (e^x)en un entorno del punto x = 0 (pues es donde conocemos el valor de (e^0)).

Como tenemos dos incógnitas (a, b), necesitaremos al menos dos condiciones que garanticen que la gráfica (Subscript[P, 1])(x) sea parecida a la de f (x) = (e^x) cerca del punto x = 0. Las condiciones que exigiremos son:
1)   (Subscript[P, 1]^(')) (0) = f (0). Es decir que pase por el punto (0, f(0)) = (0, 1)
2)   (Subscript[P, 1]^(')) (0) = f ‘(0). Es decir que P1 (x) tenga la misma pendiente que f (x) en x = 0.

Como   (Subscript[P, 1]^(')) (x)  =  b  y  f ‘ (x) = (e^x) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
a + 0 b = 1
          b = 1
De donde obtenemos a = b = 1 y el polinomio obtenido es y = x + 1

Comprobación de representación:

f[x_]=(E^x)

p1[x_]= x+1

Plot[{f[x],p1[x]},{x,-3,3}, AxesLabel -> {"x","y"},PlotRange->{-2,8},PlotLegends->"Expressions"]

El polinomio y = x + 1 aproxima el valor de la función f (x) = (e^x) en un pequeño entorno del punto x = 0. Los valores  del polinomio y la función para x = 0.4 son:

p1[0.4]

f[0.4]

El error cometido:

Abs[p1[0.4]-f[0.4]]

Ahora lo haremos considerando un polinomio de grado 2:

Consideremos un polinomio (Subscript[P, 2]) (x)  = a +  bx + c(x^2). Aplicando el mismo procedimiento anterior de igualación de derivadas para calcular los coeficientes del polinomio: a, b y c. Debemos exigir las siguientes tres condiciones:

(Subscript[P, 2]) (0) =  f (0)
(Subscript[P, 2]^(')) (0) = f ‘ (0)
(Subscript[P, 2]^('')) (0) = f ‘’ (0)

Con las que obtenemos el sistema:

a + b · 0 + c· (0^2) = 1
b + 2c · 0 = 1
2c = 1

Las soluciones son: a = 1,  b = 1,  c =(1/2). Es decir el polinomio:  (Subscript[P, 2]) (x) = 1 + x + (1/2)(x^2)

Comprobación de representación:

f[x_]=(E^x)

p2[x_]= 1 + x+(1/2)(x^2)

Plot[{f[x],p2[x]},{x,-3,3}, AxesLabel -> {"x","y"},PlotRange->{-2,8},PlotLegends->"Expressions"]

El polinomio (Subscript[P, 2]) (x) = 1 + x + (1/2)(x^2) aproxima el valor de la función f (x) = (e^x) en un pequeño entorno del punto x = 0. Los valores  del polinomio y la función para x = 0.4 son:

p2[0.4]

f[0.4]

El error cometido:

Abs[p2[0.4]-f[0.4]]

Comparando gráficamente las aproximaciones:

Plot[{f[x],p1[x],p2[x]},{x,-3,3}, AxesLabel -> {"x","y"},PlotRange->{-2,8},PlotLegends->"Expressions"]

Vemos la función de segundo grado se aproxima un poco mejor a la exponencial que la de primer grado.