SERIES DE TAYLOR

Canal video BlueDot: https://www.youtube.com/watch?v=nqbUpEfbA6M&t=6s
Título: ¿Por qué sen x ≈ x  ¿Qué son las series de Taylor y de donde provienen
Tercera parte

Veamos como podemos hacer este tipo de aproximaciones para otro tipo de funciones. Para ello supongamos una función f(x) y queremos obtener una aproximación a la función alrededor de x = a, mediante una función polinómica P(x).

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La función polinómica P(x) tendrá la forma:

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Para ello tenemos que encontrar los coeficientes: a0, a1, a2, ... an. Empecemos calculando todas las derivadas de la función P(x), evaluándolas en x = a y las comparamos con las derivadas de la función f(x) evaluadas también en x =a. Así tenemos que las sucesivas derivadas:

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Y así sucesivamente podemos calcular las derivadas de orden superior... Lo siguiente que tenemos que hacer es hallar:

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Y así sucesivamente con las derivadas de orden superior...

Si evaluamos cada uno de los polinomios de P(x) en x = a, vemos que en cada uno de los casos se obtiene:

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Encontramos un patrón muy interesante que nos permite generalizar la forma que tiene cada uno de los coeficientes. Reemplazando estos coeficientes en P(x) conseguimos la función polinómica P(x) que se conoce como el polinomio de Taylor. Que es un polinomio que se utiliza para poder aproximar una función en un punto dado.

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Ejemplo 1

Como ejemplo, utilicemos el polinomio de Taylor para aproximar la función f (x) = sen x alrededor de x = 0. El valor de a en este caso es a = 0. El polinomio de Taylor queda en este caso:

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Calculando sus derivadas hasta el quinto grado y evaluándolas en x = 0, nos queda:

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Si representamos la función f (x) = sen x

Plot[Sin[x],{x,-2π,2π}]

Definimos las funciones:

f1[x_]:=x;
g1[x_]:=x-((x^3)/(3!));
h1[x_]:=x-((x^3)/(3!))+((x^5)/(5!));
j1[x_]:=x-((x^3)/(3!))+((x^5)/(5!))-((x^7)/(7!));

Plot[{Sin[x],f1[x],g1[x],h1[x],j1[x]},{x,-2π,2π},PlotRange->{-2,2},PlotLegends->"Expressions"]

Vemos que cuantos más términos tomemos del polinomio P(x), más se aproxima el polinomio a la función sen x.

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Si consideramos la suma de todos los términos, toda esta expresión se conoce como la serie de Taylor. Si solo tomamos un número determinado de términos, entonces se le conoce como el polinomio de Taylor.

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Ejemplo 2

Utilicemos el polinomio de Taylor para aproximar la función v (x) = (e^x) alrededor de x = 0.

v2[x_]:=(E^x)

Plot[v2[x],{x,-2,3}]

Calculando las derivadas de la función y su valor para x = 0:

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Sustituyendo en el polinomio de Taylor, nos queda:

Definimos las funciones:

f2[x_]:=1;
g2[x_]:=1+(x/(1!));
h2[x_]:=1+(x/(1!))+((x^2)/(2!));
j2[x_]:=1+(x/(1!))+((x^2)/(2!))+((x^3)/(3!));

Plot[{(E^x),f2[x],g2[x],h2[x],j2[x]},{x,-2,3},PlotRange->{-2,5},PlotLegends->"Expressions"]

En este caso, si tomamos infinitos términos de la serie de Taylor, podemos decir que esta serie converge a (e^x)

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Ejemplo 3

Existen algunas funciones en las que sucede algo distinto, por ejemplo el logaritmo natural de x, f(x) = Ln x alrededor de x = 1:

v3[x_]:=Log[x]

Plot[v3[x],{x,0,10}]

En este caso la serie de Taylor correspondiente tiene la forma:

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Si analizamos el valor de la serie para valores comprendidos entre 1 y 2, vemos que cuantos mas términos añadamos mas se aproxima el polinomio a la función. Pero si aumentamos el rango a valores mayores que 2, vemos que la serie oscila y no se acerca a ningún valor específico. En casos como este en que la suma de máas términos no se acerca a ningún valor se dice que la serie diverge.

En resumen el Polinomio de Taylor:

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Por otro lado la Serie de Taylor:

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Las series de Taylor nos dan maneras de expresar funciones y analizarlas. Debido a su capacidad para aproximar funciones complicadas, constituye una herramienta fundamental que posee muchas aplicaciones de diversas ramas de la Física y de la Ingeniería.