SERIES DE TAYLOR

Canal video BlueDot: https://www.youtube.com/watch?v=nqbUpEfbA6M&t=6s
Título: ¿Por qué sen x ≈ x  ¿Qué son las series de Taylor y de donde provienen
Segunda parte

Supongamos que queremos encontrar una aproximación a la función f(x) = cos x, en el intervalo de -2π a 2π :

f[x_]:=Cos[x];

Plot[f[x], {x,-2π, 2π}]

Intentamos hacer una aproximación a la funcion f (x) = cos x mediante una función polinómica de segundo grado P(x) = a0 + a1 x + a2 (x^2). El problema se reduce a encontrar los valores de los coeficientes del polinomio. Comencemos suponiendo el valor de 0.5 para los coeficientes...

g[x_]:=0.5 +0.5 x+ 0.5 (x^2);

Plot[g[x],{x,-3,2},PlotRange->{0,2}]

Representando las dos funciones juntas, vemos que resulta una mala aproximación:

Plot[{f[x],g[x]},{x,-2π,2π},PlotRange->{-2,2},PlotLegends->"Expressions"]

Si hacemos los valores de los coeficientes a0 = 1.000,  a1 = 0.000 y a2 = - 0.500, vemos que resulta una buena aproximación...

h[x_]:=1.000 +0.000 x- 0.500 (x^2);

Plot[h[x],{x,-2,2}]

Para verlo mejor, representamos las dos funciones juntas, vemos que resulta una buena aproximación...

Plot[{f[x],h[x]},{x,-2π,2π},PlotRange->{-2,2},PlotLegends->"Expressions"]

¿Cómo encontramos los valores apropiados de los coeficientes?
Vemos que se trata de un polinomio de segundo grado del tipo P(x) = a0 + a1 x + a2 (x^2)+ a3 (x^3)+ a4 (x^4)+...
El polinomio P(x) ha de pasar por el punto (0, 1) al igual que la función f(x) = cos x.
Vamos calculando todas las derivadas de la función P(x), evaluándolas en x = a y las comparamos con las derivadas de la función f(x) evaluadas también en x =a.  Para calcular los coeficientes, vamos calculando e igualando:
P(0) = f(0),  P’(0) = f ‘(0),  P’’ (0) = f ‘’ (0), ...
        f(0) = cos (0) = 1
        P(0) = a0 + a1(0) + a2 (((0))^2)= a0
        luego:  a0 = 1
Ambas tienen que tener la misma pendiente:
        f ‘(x) = - sen x
        P’ (x) = 0  + a1 + 2a2 x
        f ‘(0) = - sen (0) = 0
        P’ (0) = 0 + a1 + 2a2 (0) = a1
        luego:  a1 = 0
Como la función tiene que ser cóncava hacia abajo:
        f ‘’ (x) = - cos x
        P’’ (x) = 2 a2
        f ‘’ (0) = - cos (0) = -1
        P’’ (0) = 2 a2
        luego:  2a2 = - 1 ,  a2 = -1/2
 Intentamos agregar un término cúbico para ver si mejora la aproximación       
        f ‘’’(x) = sen x
        f ‘’’(0) = sen (0) = 0
        P’’’(x) = 6 a3
        luego: 0 = 6 a3 ,  a3 = 0
 Para el cuarto término:
        ((f )^4)(x) = cos x
        ((f )^4)(0) = cos (0) = 1
        (P^( 4))(x) = 4 · 3 · 2 · 1 a4  = 24 a4
        (P^( 4))(0) = 24 a4
        luego: 1 = 24 a4,  a4 = 1/24
 Vemos que el polinomio mejorado es:   P(x) = 1 - 1/2 (x^2)+ 1/24 (x^4)

Representando todo junto, vemos que se mejora la aproximación del polinomio P(x) a la función f(x) = cos x

j[x_]:=1.000 +0.000 x- 0.500 (x^2)+ 1/24 (x^4);

Plot[{f[x],h[x],j[x]},{x,-2π,2π},PlotRange->{-2,2},PlotLegends->"Expressions"]

Para ver los valores de P(x) y f(x) en el intervalo apropiado:

TableForm[Table[{x, N[Cos[x]],N[j[x]]},{x,-2.0,2.0,0.1}],TableHeadings->{Automatic,{"x","f(x)=Cos(x)","j(x)=1-1/2\!\(TraditionalForm\`\(\(\\ \)\*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)]\)\)+1/24(x^4)"}}]